KHAI THÁC; PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS
Việc khai thác, phát triển một bài toán cho trước góp phần rất quan trọng trong việc nâng cao tư duy cho học sinh khi học môn Toán – nhất là trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi.
Bài toán S1: Cho a + b + c = 0. Chứng minh: a3 + b3 + c3  = 3abc
Giải:
Cách 1: Ta có a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) và a + b = -c; ta được:
a3 + b3 + c3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3
= -c3 -3ab(-c) + c3 = 3abc.(đpcm)
Cách 2: Ta có: a3 + b3 + c3  - 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc
= (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
Do a + b + c = 0 nên (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = 0.
Vậy: nếu a + b + c = 0 thì: a3 + b3 + c3  = 3abc
Từ bài toán S1 ta có thể đến với các bài toán sau:
Bài toán 1: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3
Hoặc: b) Chứng minh rằng: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)
Gợi ý: Dựa vào kết quả bài toán S1, đặt: a = x – y; b = y – z; c = z – x ta dễ dàng giải được bài toán 1.
Bài toán 2: Cho
. Tính giá trị của biểu thức:
M =

Giải: Dựa vào bài toán S1; ta có: Do
nên:

Do vậy: M =
=
=

Bài toán 3: Chứng minh rằng: Nếu a + b + c + d = 0
thì: a3 + b3 + c3 + d3 = 3(ab – cd)(c + d)
Giải: Áp dụng bài toán S1; ta có: a + b + (c + d) = 0,
suy ra: a3 + b3 + (c + d)3 = 3ab(c + d)

a3 + b3 + c3 + d3 + 3cd(c + d) = 3ab(c + d)

a3 + b3 + c3 + d3 = 3ab(c + d) - 3cd(c + d)

a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab – cd)
Từ cách giải 2 của bài toán S1, thay đổi điều kiện của nó ta có bài sau:
Bài toán 4: Cho ba số a; b; c thoả mãn: a3 + b3 + c3  = 3abc.
Tính giá trị của biểu thức: M =

Giải: Từ cách giải 2 của bài toán S1; ta có: a3 + b3 + c3  - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = 0 nên:
T/h 1: Nếu a + b + c = 0 thì M =
=

T/h 2: Nếu (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = 0 hay: (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0,
suy ra: a = b = c
Khi đó: M 2.2.2 = 8.
Từ bài toán 4 ta lại có được bài toán sau khó hơn:
Bài toán 5: Cho ba số a; b; c thoả mãn: a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2.
Tính giá trị của biểu thức: M =

Hướng dẫn: Đặt x = ab; y = bc; z = ca (Kết quả tương tự bài toán 4).
Bài toán S2: khi làm toán liên quan đến chuyển động của kim đồng hồ:
* Xem đồng hồ là một vòng thì:
Vận tốc kim phút là 1 vòng/giờ;
Vận tốc kim giờ là
vòng/giờ;
Trong một giờ kim phút nhanh hơn kim giờ
vòng
* Xem đồng hồ được chia làm 12 vạch thì:
Vận tốc của kim phút là 12 vạch/giờ;