DẤU HIỆU CHIA HẾT

A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN
I. Định nghĩa phép chia
Cho 2 số nguyên a và b trong đó b ( 0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho:
a = bq + r Với 0 ( r ( (b(
Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.
Khi a chia cho b có thể xẩy ra (b( số dư
r ( {0; 1; 2; …; (b(}
Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a.
Ký hiệu: a ( b hay b a
Vậy: a ( b ( Có số nguyên q sao cho a = bq
II. Các tính chất
Với ( a ( 0 ( a ( a
Nếu a ( b và b ( c ( a ( c
Với ( a ( 0 ( 0 ( a
Nếu a, b > 0 và a ( b ; b ( a ( a = b
Nếu a ( b và c bất kỳ ( ac ( b
Nếu a ( b ( ((a) ( ((b)
Với ( a ( a ( ((1)
Nếu a ( b và c ( b ( a ( c ( b
Nếu a ( b và c(b ( a ( c ( b
Nếu a + b ( c và a ( c ( b ( c
Nếu a ( b và n > 0 ( an ( bn
Nếu ac ( b và (a, b) =1 ( c ( b
Nếu a ( b, c ( b và m, n bất kỳ am + cn ( b
Nếu a ( b và c ( d ( ac ( bd
Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!
III. Một số dấu hiệu chia hết
Gọi N =

1. Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125
+ N ( 2 ( a0 ( 2 ( a0({0; 2; 4; 6; 8}
+ N ( 5 ( a0 ( 5 ( a0({0; 5}
+ N ( 4 (hoặc 25) (
( 4 (hoặc 25)
+ N ( 8 (hoặc 125) (
( 8 (hoặc 125)
2. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9
+ N ( 3 (hoặc 9) ( a0+a1+…+an ( 3 (hoặc 9)
3. Một số dấu hiệu khác
+ N ( 11 ( [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)] ( 11
+ N ( 101 ( [(
+
+…) - (
+
+…)] ( 101
+ N ( 7 (hoặc 13)
( [(
+
+…) - [(
+
+…) ( 11 (hoặc 13)
+ N ( 37 ( (
+
+…) ( 37
+ N ( 19 ( ( a0+2an-1+22an-2+…+ 2na0) ( 19
IV. Đồng dư thức
a. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Nếu hai số nguyên a và b cho cùng số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m.
Ký hiệu: a ( b (modun)
Vậy: a ( b (modun) ( a - b ( m
b. Các tính chất
Với ( a ( a ( a (modun)
Nếu a ( b (modun) ( b ( a (modun)
Nếu a ( b (modun), b ( c (modun) ( a ( c (modun)
Nếu a ( b (modun) và c ( d (modun) ( a+c ( b+d (modun)
Nếu a ( b (modun) và c ( d (modun) ( ac ( bd (modun)
Nếu a ( b (modun), d ( Uc (a, b) và (d, m) =1
(
(modun)
Nếu a ( b (modun), d > 0 và d ( Uc (a, b, m)
(
(modun
)
V. Một số định lý
1. Định lý Euler
Nếu m là 1 số nguyên dương ((m) là số các số nguyên dương nhỏ hơn m và nguyên tố cùng nhau với m, (a, m) = 1
Thì a((m) ( 1 (modun)
Công thức tính ((m)
Phân tích m ra thừa số nguyên tố
m = p1(1 p2(2 … pk(k với pi ( p; (i ( N*
Thì ((m) = m(1 -
)(1 -
) … (1 -
)
2. Định lý Fermat
Nếu t là số nguyên tố và a không chia hết cho p thì ap-1