SỐ CHÍNH PHƯƠNG

I. ĐỊNH NGHĨA:
Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.
II. TÍNH CHẤT:
1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n
N).
4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n
N).
5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
- Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
- Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
- Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 22.
- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 32.
- Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 52.
- Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Giải
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t thì ta có:
A = (t – y2)( t + y2) + y4 = t2 – y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
V ì x, y
Z nên x2
Z, 5xy
Z, 5y2
Z
x2 + 5xy + 5y2
Z
Vậy A là số chính phương.

Ví dụ 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là số chính phương
Giải
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n
N). Ta có:
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t
N) thì ta có (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n
N nên n2 + 3n + 1
N
Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.

Ví dụ 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .
Giải
Ta có: 
k(k + 1)(k + 2) =
k(k + 1)(k + 2).4 =
k(k + 1)(k + 2).[(k + 3) – (k – 1)]
=
k(k + 1)(k + 2)(k + 3) –
(k – 1)k(k + 1)(k + 2)

S =
.1.2.3.4 –
.0.1.2.3 +
.2.3.4.5 –
.1.2.3.4 +…+
+
k(k + 1)(k + 2)(k + 3) –
k(k + 1)(k + 2)(k – 1)
=
k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Theo kết quả bài 2 thì k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính phương.

4S + 1 là số chính phương.


Bài 4: Cho