CHUYÊN ĐỀ – TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC

A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức:
1) Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên
2) Phương pháp
a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần:
+ Chứng minh A k với k là hằng số
+ Chỉ ra dấ “=” có thể xẩy ra với giá trị nào đó của biến
b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần:
+ Chứng minh A k với k là hằng số
+ Chỉ ra dấ “=” có thể xẩy ra với giá trị nào đó của biến
Kí hiệu : min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của A
B.Các bài tập tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức:
I) Dạng 1: Tam thức bậc hai
Ví dụ 1 :
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 – 8x + 1
b) Tìm giá trị lớn nhất của B = -5x2 – 4x + 1
Giải
a) A = 2(x2 – 4x + 4) – 7 = 2(x – 2)2 – 7 - 7
min A = - 7 x = 2
b) B = - 5(x2 + x) + 1 = - 5(x2 + 2.x+ + = - 5(x + 2
max B = x =
b) Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = a x2 + bx + c
a) Tìm min P nếu a > 0
b) Tìm max P nếu a < 0
Giải
Ta có: P = a(x2 + x) + c = a(x + 2 + (c -
Đặt c - = k. Do (x + 2 0 nên:
a) Nếu a > 0 thì a(x + 2 0 do đó P k min P = k x = -
b) Nếu a < 0 thì a(x + 2 0 do đó P k max P = k x = -
II. Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối
1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a) A = (3x – 1)2 – 4 + 5
đặt = y thì A = y2 – 4y + 5 = (y – 2)2 + 1 1
min A = 1 y = 2 = 2
b) B = +
B = + = B = + = 1
min B = 1 (x – 2)(3 – x) 0 2 x 3
2) Ví dụ 2: Tìm GTNN của C =
Ta có C = = = 3
min C = 3 x2 – x + 1)(2 + x – x2) 0 2 + x – x2 0 x2 – x – 2 0
x + 1)(x – 2) 0
3) Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|
Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|
|x-1+4-x| = 3 (1)
Và = 1 (2)
Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|
1 + 3 = 4
Ta có từ (1)
Dấu bằng xảy ra khi

(2)
Dấu bằng xảy ra khi

Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi

III.Dạng 3: Đa thức bậc cao
1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)( x2 – 7x + 12)
Đặt x2 – 7x + 6 thì A = (y – 6)(y + 6) =