QUÝ KHÁCH LƯU Ý!!
- Nếu bạn chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên thì sẽ không tải được các tài liệu về máy tính của mình cũng như gửi ý kiến của cá nhân lên trang web này.
- Để đăng ký, hãy nhấn vào chữ "ĐK thành viên" ở phía bên trái rồi điền đầy đủ các thông tin theo yêu cầu.
- Để đăng nhập bạn hãy gõ "Tên đăng nhập" và "Mật khẩu" vào ô "Đăng nhập" ở phía bên trái rồi nhấn phím Enter.
CĐ CÁC PP TÍNH TỔNG
- 0 / 0
-
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn: St
Người gửi: Lê Quang Hải (trang riêng)
Ngày gửi: 02h:14' 13-01-2013
Dung lượng: 311.0 KB
Số lượt tải: 7
Nguồn: St
Người gửi: Lê Quang Hải (trang riêng)
Ngày gửi: 02h:14' 13-01-2013
Dung lượng: 311.0 KB
Số lượt tải: 7
Số lượt thích:
0 người
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG MỘT DÃY SỐ
I. Phương pháp dự đoán và quy nạp:
Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn:
Sn = a1 + a2 + .... an (1)
Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được .
Ví dụ 1: Tính tổng Sn =1 + 3 + 5 +... + (2n – 1)
Giải
Thử trực tiếp ta thấy: S1 = 1
S2 = 1 + 3 = 22
S3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 32
... ... ...
Ta dự đoán Sn = n2. Với n = 1, 2, 3 ta thấy kết quả đúng
Giả sử kết quả đúng với n = k (k 1) ta có Sk = k 2 (2)
Ta cần phải chứng minh kết quả đúng với n = k + 1 tức là Sk+1 = (k +1)2 ( 3)
Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có
1 + 3 + 5 +... + (2k – 1) + ( 2k + 1) = k2 + (2k + 1)
Vì k2 + (2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1) 2
Theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh
vậy Sn = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n – 1) = n2
- Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học .
1) 1 + 2+3 + .... + n =
2) 12 + 2 2 + ..... + n 2 =
3) 13+23 + ..... + n3 =
4) 15 + 25 + .... + n5 = .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 )
II. Phương pháp khử liên tiếp:
Giả sử ta cần tính tổng Sn = a1 + a2 + .... an (1) mà ta có thể biểu diễn ai
(i = 1, 2, 3,..., n) qua hiệu hai số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác, chính xác hơn.
Giả sử: a1 = b1 – b2
a2 = b2 – b3
.... .... .....
an = bn – bn+ 1
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được:
Sn = (b1 – b2) + (b2 – b3) + ...... + (bn – bn + 1) = b1 – bn + 1
Ví dụ 2: Tính tổng S =
Giải
Ta có: , ,
Do đó: S =
* Dạng tổng quát: Sn = = 1 – (n > 1)
Ví dụ 3: Tính tổng Sn =
Giải
Ta có: Sn =
Sn =
Sn =
Ví dụ 4: Tính tổng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n )
Giải
Ta có: 1! = 2! – 1!
2.2! = 3! – 2!
3.3! = 4! – 3!
..... ..... .....
n.n! = (n + 1) – n!
Vậy Sn = 2! – 1! + 3! – 2 ! + 4! – 3! +...... + ( n + 1)! – n!
= ( n + 1) ! – 1! = ( n+ 1) ! – 1
Ví dụ 5: Tính tổng Sn =
Giải
Ta có: (i = 1, 2, 3,..., n)
Do đó Sn = ( 1 – = 1 –
III. Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính:
Ví dụ 6: Tính tổng S = 1 + 2 + 22 +....... + 2100 (4)
Giải
Ta viết lại S như sau :
S = 1 + 2(1 + 2 + 22 +... + 299 )
S = 1 + 2 ( 1 + 2 + 22 + ... + 299 + 2 100 – 2100 )
S = 1 + 2 (S – 2100 ) ( 5)
Từ (5) suy ra S = 1 + 2S – 2101
S = 2101 – 1
Ví dụ 7: Tính tổng Sn = 1 + p + p 2+ p3 + ... + pn ( p1)
Giải
Ta viết lại Sn dưới dạng sau:
Sn = 1 + p(1 + p + p2 +... + pn
I. Phương pháp dự đoán và quy nạp:
Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn:
Sn = a1 + a2 + .... an (1)
Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được .
Ví dụ 1: Tính tổng Sn =1 + 3 + 5 +... + (2n – 1)
Giải
Thử trực tiếp ta thấy: S1 = 1
S2 = 1 + 3 = 22
S3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 32
... ... ...
Ta dự đoán Sn = n2. Với n = 1, 2, 3 ta thấy kết quả đúng
Giả sử kết quả đúng với n = k (k 1) ta có Sk = k 2 (2)
Ta cần phải chứng minh kết quả đúng với n = k + 1 tức là Sk+1 = (k +1)2 ( 3)
Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có
1 + 3 + 5 +... + (2k – 1) + ( 2k + 1) = k2 + (2k + 1)
Vì k2 + (2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1) 2
Theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh
vậy Sn = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n – 1) = n2
- Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học .
1) 1 + 2+3 + .... + n =
2) 12 + 2 2 + ..... + n 2 =
3) 13+23 + ..... + n3 =
4) 15 + 25 + .... + n5 = .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 )
II. Phương pháp khử liên tiếp:
Giả sử ta cần tính tổng Sn = a1 + a2 + .... an (1) mà ta có thể biểu diễn ai
(i = 1, 2, 3,..., n) qua hiệu hai số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác, chính xác hơn.
Giả sử: a1 = b1 – b2
a2 = b2 – b3
.... .... .....
an = bn – bn+ 1
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được:
Sn = (b1 – b2) + (b2 – b3) + ...... + (bn – bn + 1) = b1 – bn + 1
Ví dụ 2: Tính tổng S =
Giải
Ta có: , ,
Do đó: S =
* Dạng tổng quát: Sn = = 1 – (n > 1)
Ví dụ 3: Tính tổng Sn =
Giải
Ta có: Sn =
Sn =
Sn =
Ví dụ 4: Tính tổng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n )
Giải
Ta có: 1! = 2! – 1!
2.2! = 3! – 2!
3.3! = 4! – 3!
..... ..... .....
n.n! = (n + 1) – n!
Vậy Sn = 2! – 1! + 3! – 2 ! + 4! – 3! +...... + ( n + 1)! – n!
= ( n + 1) ! – 1! = ( n+ 1) ! – 1
Ví dụ 5: Tính tổng Sn =
Giải
Ta có: (i = 1, 2, 3,..., n)
Do đó Sn = ( 1 – = 1 –
III. Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính:
Ví dụ 6: Tính tổng S = 1 + 2 + 22 +....... + 2100 (4)
Giải
Ta viết lại S như sau :
S = 1 + 2(1 + 2 + 22 +... + 299 )
S = 1 + 2 ( 1 + 2 + 22 + ... + 299 + 2 100 – 2100 )
S = 1 + 2 (S – 2100 ) ( 5)
Từ (5) suy ra S = 1 + 2S – 2101
S = 2101 – 1
Ví dụ 7: Tính tổng Sn = 1 + p + p 2+ p3 + ... + pn ( p1)
Giải
Ta viết lại Sn dưới dạng sau:
Sn = 1 + p(1 + p + p2 +... + pn